TODENNÄKÖISYYSLASKENTA
Mika Rantanen 2011
Mika Rantanen 2011
Peruskäsitteitä
Tapahtumaa, jonka tuloksen määrääsattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi.
Tapahtuman mahdollisia tuloksia kutsutaanalkeistapauksiksi.
Kaikkien mahdollisten alkeistapaustenjoukkoa kutsutaan otosavaruudeksi E
Jos kaikki alkeistapaukset ovat yhtätodennäköisiä, niitä kutsutan symmetrisiksi.
Mika Rantanen 2011
Klassinen todennäköisyys
Jos joukko A on k:n suotuisanalkeistapauksen joukkootosavaruudessa E, jossa on n(A)kpl symmetrisiä alkeistapauksia,niin tapahtuman A klassinentodennäköisyys on
E
A
Mika Rantanen 2011
Todennäköisyyden ilmoittaminen
Todennäköisyysilmoitetaandesimaalilukuna 0-1 taiprosenttilukuna 0%-100%
Varman tapauksentodennäköisyys on 1(100%)
Mahdottoman tapauksentodennäköisyys on 0 (0%)
Mika Rantanen 2011
esimerkki
3-lapsisen perheen tyttöjenlukumäärä:
E = {ppp, ppt, ptp, tpp, ptt, tpt, ttp, ttt}
Mika Rantanen 2011
Komplementtitapaus
Tapauksenkomplementtitapaus ”ei     ”on
Mika Rantanen 2011
esimerkki
1.Millä todennäköisyydellä
a.Korttipakasta otettu kortti ei ole pata?
b.Nopanheitossa neljällä heitolla saadaan ainakinyksi kuutonen?
c.5-lapsisessa perheessä on ainakin yksi tyttö?
Mika Rantanen 2011
Kertolaskusääntö riippumattomilletapahtumille
Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat, jostapahtuman B todennäköisyys ei riipu siitä onko Asattunut vai ei.
Riippumattomien tapahtumien A ja Btodennäköisyys voidaan laskea kertomallatapausten todennäköisyydet.
Mika Rantanen 2011
esimerkkejä
1.Millä todennäköisyydellä saadaankorttipakasta peräkkäin otetuista korteista
a.Kaksi ässää, kun kortti laitetaan noston jälkeentakaisin
b.Kaksi ässää, kun korttia ei laiteta noston jälkeentakaisin
Mika Rantanen 2011
esimerkkejä
1.Millä todennäköisyydellä saadaan
a.korttipakasta ensimmäiseksi kortiksi pata jatoiseksi ässä, kun kortti laitetaan noston jälkeentakaisin?
b.Nopanheitossa neljä ykköstä peräkkäin?
Mika Rantanen 2011
Yhteenlaskusääntö
Jos tapahtumat A ja Bovat erillisiä, ne ovattoisensa poissulkeviaeli niillä ei ole samojaalkeistapauksia
Todennäköisyys, että Atai B tapahtuu, kuntapaukset A ja B ovaterillisiä:
E
A
B
Mika Rantanen 2011
esimerkki
Millä todennäköisyydellä
a. Nopanheitossa saadaan 1 tai 2?
P(1 tai 2)= P(1) + P(2)
=1/6+1/6
=0,17+0,17
=0,33
b. Korttipakasta vedetty kortti on kuvakortti tainelonen
Mika Rantanen 2011
Yhteenlaskusääntö
Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu:
E
A
B
Mika Rantanen 2011
esimerkki
1.Millä todennäköisyydelläsatunnaisesti nostettu kortti on
a.Ässä tai hertta
b.Parillinen tai musta
Mika Rantanen 2011
KOMBINATORIIKKA
Monellako tapaa n alkion joukosta voidaan valita kalkiota ( n):
Kertaotoksena, jolloin sama alkio voidaan valita vainkerran
Toisto-otoksena, jolloin sama alkio voidaan valitauseamman kerran
Otos voi olla järjestetty (jono), jolloin alkioidenjärjestyksellä on väliä
Otos voi olla järjestämätön (joukko), jolloin alkioidenjärjestyksellä ei ole väliä
Mika Rantanen 2011
Kertoma !
Monellako tavalla nalkion joukko voidaanjärjestää (permutoida)?
Esim. Kuusi oppilastavoidaan järjestää jonoon6! tavalla:
Huomaa!
1!=1
0!=1
Mika Rantanen 2011
Montako k-alkioista jonoa voidaanmuodostaa n alkion joukosta
Kertaotoksena
Esim.
Kuinka monta erilaistakolmen henkilön jonoavoi muodostaa viidestäoppilaasta?
Mika Rantanen 2011
Montako k-alkioista jonoa voidaanmuodostaa n alkion joukosta
Toisto-otoksena
Esim.
Kuinka monta erilaistaveikkausriviä ( 1, X tai 2 )voidaan tehdä, kunveikattavia otteluja on 13?
Mika Rantanen 2011
tehtävä
Kuinka monta erilaista kolmen kirjaimen”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U?
a)toisto-otoksena?
b)kertaotoksena
Mika Rantanen 2011
tehtäviä
Kuinka monta erilaista 2- tai 3- kirjaimista”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U?
a)toisto-otoksena?
b)Kertaotoksena?
Mika Rantanen 2011
Montako k-alkioista joukkoa voidaanmuodostaa n-alkioisesta joukosta?
Esim.
Mika Rantanen 2011
tehtäviä
Mika Rantanen 2011
tehtäviä
Kuinka monella tavalla
a.voidaan valita 7 alkiota 10 alkion joukosta?
b.voidaan valita järjestäjäpari 20 oppilaanluokasta?
c.neljä pelaaja tenniksen nelinpeliin 12 pelaajanjoukosta?
d.voidaan valita luokalle 20 oppilasta 85 oppilaanjoukosta