Polynomifunktiot MA 02
Läsnäolovelvollisuus
Poissaolojen selvitys
Käyttäytyminen
Tuntiaktiivisuus
Kotitehtävien tekeminen
Tunnit muodostavat n. 50 % matikanoppimisesta
Ennakkoluulojen ravistelua
Kuka vihaa matematiikkaa?
Matikkaa tarvitaan vain koulussa
En voi osata matematiikkaa, kun äitikään eiosaa
Matematiikan kokeisiin ei voi lukea
Matematiikasta ei ole konkreettista hyötyä
Lukujoukot
Luonnolliset luvut
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Irrationaaliluvut
Reaaliluvut
Etäisyys lukusuoralla
Mitä tarkoittaa luvun itseisarvo?
Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta
Merkitään |a|
Esim.
Itseisarvon määritelmä s. 12
Ovatko väitteet tosia?
1. asteen epäyhtälö
Ratkaistaan samalla tavalla kuin normaaliensimmäisen asteen yhtälö, mutta
jos jaetaan tai kerrotaan negatiivisella luvulla,niin epäyhtälön suunta muuttuu
Esim. jos epäyhtälö -6 < 12 kerrotaan taijaetaan luvulla -2, niin kuinka käy?
Esim. Ratkaise epäyhtälö
Funktio
Esim. Jarrutusmatka on suoraanverrannollinen nopeuden neliöön. Muodostafunktio, missä jarrutusmatka s saadaannopeuden v avulla.
s = kv2
Yleensä funktiota merkitään f(x) tai g(x)
Esim. funktio f(x) = 30 + 0,30x voisi ilmoittaa,että auton vuokra maksaa 30e päivä ja 0,30ekilometriltä
Funktio
Esim. f(x) = 5 + 3x
Laske f(10)
Mitkä ovat funktion nollakohdat?
Laske milloin f(x) = 5 +3x = 0
Miten piirrän funktion kuvaajan? (Laskimellaja ilman)
Miten kuvaajasta näkee funktion nollakohdat?
nollakohdat ovat kuvaajassa x-akselinleikkauspisteitä
Funktion kuvaaja
Funktion määrittelyjoukko
Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä x:narvoja, joita funktioon voidaan syöttää
Esim. f(x) = 5 + 3x on määritelty
kaikilla x:n arvoilla eli määrittelyjoukko on kokoreaalilukujen joukko
Funktion määrittelyjoukko
Esim. Laske funktionmäärittelyjoukko
Piirrä kuvaaja
Laske funktionnollakohta
Polynomilaskennan kertaus ja täydennys
Esim. 4. asteenpolynomi
Yleisesti ottaen kaikkipolynomifunktiot ovatmääritelty kaikillareaaliluvuilla
1. asteen polynomi on suora y = kx + b
Milloin suora on nouseva
kun kulmakerroin k>0
Milloin suora on laskeva
kun kulmakerroin k<0
Polynomien summa ja erotus
Kertaa s. 37 - 39
Polynomien tulo
Esim.
Yhteisen tekijän ottaminen
Jotta yhtälön ratkaisu tai supistaminen onnistuu,niin polynomeista monesti halutaan etsiä yhteisiätekijöitä
Esim. Etsi yhteiset tekijät
Polynomien jakolasku
Vaatii monesti yhteisen tekijän ottamisen
Esim.
Polynomien tulo
Jokaiselle termillä kerrotaan jokainenkerrottava.
Esim.
Summan ja erotuksen tulo
Esim.
Esim. Tekijöihin jako
Jaa tekijöihin ja supista
Summan neliö
Esim.
Erotuksen neliö
Esim.
Muistikaavat
Neliöksi täydentäminen
Pyritään saamaan muistikaava lisäämälläjokin sopiva termi
Esim.
2. asteen funktio ja yhtälö
f(x) = ax2 + bx +c
Kuvaaja paraabeli
Kuvaaja symmetrinenhuipun suhteen
Nollakohdat ovat x-akselin leikkauspisteitä
Huippu
Nollakohdat
Paraabelin aukeamissuunta
f(x) = ax2 + bx +c
Kun a > 0, niinparaabeli aukeaaylöspäin
Paraabelin aukeamissuunta
f(x) = ax2 + bx +c
Kun a < 0, niinparaabeli aukeaaalaspäin
Esim.
Piirrä funktio f(x) = f(x) = x2 - x - 2
Mitkä ovat funktion nollakohdat?
Missä pisteessä on kuvaajan huippu?
Piirrä myös laskimella, jos moinen laskin onja tarkista laskimesta samat asiat
2. asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä
ax2 + bx +c
Ratkaisuja eli nollakohtia eli juuria voi olla
kaksi
yksi
ei yhtään
Esim.
Ratkaise yhtälö
2. asteen yhtälön ratkaisukaava
ax2 + bx +c = 0
Esim.
Ratkaise yhtälö
Ratkaise yhtälö
Sovelluksia
Kultainen leikkaus eli kultainen suhdesaadaan, kun jana jaetaan kahteen osaanniin, että lyhyemmän osan suhde pidempäänosaan on sama kuin pidemmän osan suhdekoko janaan.
Esim.
Kirjan tai rakennuksien muoto noudattaalikipitäen kultaisen leikkauksen ideaa.
Navan korkeus antiikin kreikankauneusihanteen mukaan
2. asteen epäyhtälö
Milloin vuorokauden lämpötila on korkeampi kuin0 astetta. Entäs pakkasen puolella.
Esim.
Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä
2. asteen yhtälöllä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtäänratkaisua.
Ratkaisujen lukumäärä nähdäänratkaisukaavan diskriminantista
Kun D>0, niin yhtälöllä on kaksiratkaisua
Kun D=0, niin yhtälöllä on tasanyksi ratkaisu
Kun D<0, niin yhtälöllä ei oleratkaisua.
Tulon nollasääntö
Esim. ratkaise yhtälö 2x2 + 2x = 0
Esim. ratkaise yhtälö x+4x + 4 = 0
Tulon nollasääntö
Esim. Ratkaise yhtälö (x - 2)4(6x +2)(x-3)=0
Korkeamman asteen yhtälöt
Esim.
Korkeamman asteen epäyhtälöt
Piirrä kuvaaja, jos mahdollista. (Laskimella).
Ratkaise korkeamman asteen nollakohdat
Tee ns. merkkikaavio
Katso merkkikaaviosta (ja tarkastakuvaajasta) epäyhtälön ratkaisut
Esim.
Nollakohtien ja tekijöiden yhteys