Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle
Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x) tunnetaan (m. asteen) Taylor-polynomi
pisteen c ympäristössä, kun f(x):llä on (ainakin) m+1 asteen jatkuvat derivaatat c:n
sisältämällä välillä:
Kun f(x) on ’riittävän säännöllinen’ pisteen c läheisyydessä, voidaan se lisäksi esittää
Taylor kehitelmänsä avulla eli lausekkeena
Nämä käsiteet voidaan yleistää n:n muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x). Funktion
f(x1,...,xnm. asteen Taylor polynomi pisteen c = (c1,...,cn) ympäristössä on
kaikki m:n asteen sekaderivaatat...
...pisteessä C
...kertaa vastaavien
koordinaattien erotus
Erikoistapauksia Taylor polynomista
Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen ensimmäisen kertaluvun Taylor-
polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä on
Mutta tämähän on pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a, b, f(a,b)) piirretyn tangenttitason
yhtälö, jota myös f(x,y):n ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi sanotaan.
Kun muistamme, että pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a,b,f(a,b)) piirretyn gradienttivektorinf(a,b) lauseke oli f(a,b) = fx(a,b)i + fy(a,b)j  (missä  luettiin ’nabla’) ja huomaamme,
että
     f(c)·(x – c) = [fx(a,b)i + fy(a,b)j·[(x - a)i + (y - b)j]
voimme päätellä, että 1. kl. Taylor polynomi voidaan kätevästi esittää gradientin avulla:
                                                   p1(x) = f(c) + f(c)·(x – c).
Tarkemmin ajatellen kyseinen kaava pätee kaikille n:n muuttujan funktioille!
Tarkastellaan seuraavaksi kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen toisen kertaluvun
Taylor polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä sisältää ’sekaderivaattatermit’
Muodostamalla f(x,y):n Hessen matriisi
pisteessä voidaan todeta (kotitehtävänä!), että
Siten toisen kertaluvun
Taylor polynomille saadaan lauseke:
Toisen kertaluvun Taylor polynomin lauseke (joka itse asiassa pätee kaikille n:nmuuttujan funktioille f(x)):
Esimerkki. Laskettava (a) nollannen (b) ensimmäisen ja (c) 2. asteen Taylor-polynomi
funktiolle f(x,y) = x3y4 kehityskeskuksessa c = (1,2).
(a) 0. asteen Taylorpolynomi on f(c) = 13·24 = 16
(b) 1. asteen Taylorpolynomia varten pitää ’nablata f’ ja laskea pistetulo:
Siten 1. asteen Taylor polynomi on p1(x) = 48x + 32y – 96.
(c) 2. asteen Taylorpolynomia varten muodostetaan aluksi f:n Hessen matriisi:
Siten erityisesti
H(1,2) =
Lasketaan sitten matriisitulo
2. asteen Taylor polynomi saadaan nyt lisäämällä p1(x):n lausekkeeseen nämä termit:
Hetkonen, mihin näitä Taylorpolynomeja oikein tarvitaan?
Insinööritieteissä tarvitaan usein
mm likiarvoja. Taylor polynomia
on helpo integroida, derivoida,
laskea raja-arvoja, likiarvoja,
jne. jne... Lähellä kehityskeskusta
se käyttäytyy likimain kuin alku-
peräinen funktio.
Usean muuttujan vektoriarvoisista funktioista                        (Edwards&Penney Luku 13.7)
Matriisiteorian yhteydessä lienee jo tutustuttu lineaarikuvauksiin :RnRm (niitä, jotka
voidaan esittää matriisikertolaskun avulla AX = Y ja joille (l(x + y)) = l(x) + l(y).
Usean muuttujan vektoriarvoinen funktio f kuvaa n-ulotteisia vektoreita m-ulotteisiksi
vektoreiksi, esim.
on kuvaus
f:R3→R5
jonka arvo
pisteessä
Tässä funktiot sin(x) + cos(y), x2, ez ln(y+z3) ja 2 ovat f:n komponenttifunktiot,
merkään niitä seuraavasti:
Varoitus: merkintä fi
ei ole yksikäsitteinen,
sehän voisi tarkoittaa
samaa kuin usean
muuttujan funktion
i:s osittaisderivaatta
Jatkossa tarkastellaan yleisiä
vektoriarvoisia usean muuttujan
funktiota f:RnRm , missä
m, n ³ 1. Monet niiden omi-
naisuuksista palautuvat kompo-
nettifunktioiden ominaisuuksiin:
* f on määritelty pisteessä x0 täsmälleen silloin kuin jokainen komponettifunktio on
   määritelty tässä lähtöavaruuden Rn pisteessä, ts.
   f:n määrittelyalue on komponettifunktioiden määrittelyalueiden leikkaus
* funktiolla f on raja-arvo pisteessä x0 täsmälleen silloin kun jokaisella komponetti-
   funktiolla on raja arvo tässä pisteessä,
* f on jatkuva pisteessä x0 silloin ja vain silloin kun sen jokainen komponettifunktio
   on jatkuva tässä pisteessä [vastaavasti f:n jatkuvuus jossakin alueessa].
Esimerkki. Olkoon f:R2R4   kuvaus 2- ja 4-ulotteisten Euklidisten avaruuksien välillä
ja määritelty ehdolla
(a)Mikä on f:n määrittelyjoukko Deff?
     Ratkaisu. Tarkastellaan komponettifunktioden
     määrittelyjoukkoja:
f1 ja f3 on selvästi määritelty aina eli
Deff= Deff3 = R2.
(b) Laske raja-arvo
                                               Ratkaisu: Tutkitaan
         komponettien
                         raja-arvoja:
(c) Miten f(x) tulisi määritellä joukossa, jossa 4x2 = y2, jotta siitä tulisi jatkuva?
Ratkaisu. Edellisen raja-arvotarkastelun nojalla ongelmallinen on 4. komponettifunktio.
Koska
Funktioiden f:RnRm ja g:RmRk
yhdistetty funktio on  kuvaus
g○f:Rn→Rk, joka on määritelty kaavalla
Esimerkki. Olkoot funktiot
   f:RnRm ja g:RmRk
määritelty  kaavoilla
f:n määrittelyalue on koko R2 taso,
mutta g:tä ei ole määritelty, jos x
on negatiivinen eli
          Defg = {(x,y,z)ÎR3, x³0}
Yhdistetyn funktion määrittelyalue:
Siis
                         Differentioituvuus, kokonaisderivaatta, Jacobin matriisi
Olkoon f:RnRm määritelty jossakin n-ulotteisen avaruuden pisteen X0 ympäristössä.
Jos on olemassa lineaarikuvas :RnRm [eli itse asiassa matriisi Amn !]  ja funktio
g:RnRm siten, että tässä ympäristössä on aina voimassa
on f differentioituva pisteessä X0.
f on differentioituva jossakin alueessa,
jos se on differentoituva tämän alueen
kaikissa pisteissä
Riittävä ehto f:n differentioituvuudelle on kaikkien komponenttifunktioiden fi, i=1,...,m
kaikkien osittaisderivaattojen ∂fi/∂xj, j=1,...,n olemassaolo jatkuvina pisteessä X0.
Lineaarikuvauksen  rooliin tulee silloin funktion f Jacobin matriisi
Arvoa Jf(X0)
sanotaan funktion f
kokonaisderivaataksi
pisteessä X0.
Esimerkki. Olkoon funktio f:RnRm
määritelty kaavalla
Lasketaan sen kokonaisderivaatta
pisteessä (x,y,z) = (1, -1, 2):
                                                     Yhdistetyn funktion derivaatta, yleinen ketjusääntö
                                               Yhden muuttujan yhdistetyn funktion derivaatan ketju-
                                               sääntö D(g(f(x)) = g’(f(x)f(x) on opittu jo lukiossa,
                                               näimme myös derivoinnin ketjusäännön usean muuttujanmuuttujan reaaliarvoisille funktioille. Nyt tämä sääntö esitetään kaikkein yleisimmässämuodossaan Jacobin matriisin avulla:
Olkoot funktiot f:RnRm ja g:RmRk differentioituvia. Silloin yhdistetyn funktion
g○f:RnRk kokonaisderivaatalle pätee:
g:n Jacobi pisteessä f(X0)
f:n Jacobi pisteessä X0
matriisitulo
Esimerkki. Todennetaan kaava
1° Lasketaan ensin yhdistetty funktio g○f ja sitten sen Jacobin matriisi Jg○f:
Koska
on Jacobin
matriisi Jg○f =
2° Lasketaan ensin Jacobin matriisit Jg(f(4,1)) ja Jf((4,1) ja sitten näiden matriisitulo.
Tarvitsemme myös arvoa f(4,1) = (4,6,4).
Siten matriisituloksi saadaan
Sama
tulos!
Yhdistetyn funktion derivoimiskaavan
yleinen todistus on suoraviivainen, mutta teknisesti hankalahko; ensin todetaan että  koska f on
differentioituva pisteessä X0, on sitä myös yhdistetty funktio. Tämän jälkeen muodostetaan yhdis-
tetyn funktion Jacobin matriisi ja tarkastellaan sen paikalla (i,j) olevaa alkiota. Matriisin kertolas-
kuominaisuuksista seuraa, että tämä alkio on sama kuin tulomatriisin vastaavalla paikalla oleva
alkio.