Standardimenetelmätmarkkinariskien mallintamiseen
Elina Lepomäki
14.9.2011
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Yhteenveto
•Rahoitusmarkkinoilla käytetään erilaisia menetelmiä markkinariskin mittaamiseenlyhyellä aikavälillä
•Ongelma yhtenevä tappiojakauman mallintamisen kanssa
–Missä on vektori riskitekijöiden muutoksista ajanhetkestä t ajanhetkeen t+1 ja on portfoliontappio-operaattori ajanhetkellä t
•Riskimittarit Value-At-Risk (VaR) ja odotettu vaje (expected shortfall)
•Riskien mittaamisessa on olennaista käytetäänkö ehdollistamatonta vai ehdollistatappiojakaumaa
•Menetelmät:
–Varianssi-kovarianssi, historiallinen simulaatio, Monte Carlo, Usean periodin tappiot ja skaalaus
–Näiden yhteydessä usein sovellettu ennustekyvyn testaus (backtesting)
Varianssi-kovarianssi
•Oletus. Riskimuuttujien muutokset noudattavat monimuuttujaista normaalijakaumaa
–Missä μ on keskiarvo-vektori ja Σ kovarianssimatriisi
•Oletus. Lineaarinen tappio riskitekijöiden osalta on riittävän tarkka approksimaatiotodellisesta tappiosta
–Lineaarinen tappio-operaattori
–Missä on vakio ja vakiovektori
•Yleisistä lineaarikombinaatioiden keskiarvoa ja varianssia koskevista säännöistäsaadaan
•Tästä tappiojakaumasta on helppo laskea VaR ja odotettu vaje
•Menetelmän hyvät ja huonot puolet
–Yksinkertainen analyyttinen ratkaisu
–Linearisaatio ei tarpeeksi hyvä approksimaatio tappiojakauman ja riskitekijöiden muutosten suhteesta
–Normaalisuusoletus ei välttämättä realistinen riskitekijöiden muutoksille, etenkään päivätasolla
Historiallinen simulaatio (1/2)
•Sen sijaan että estimoidaan tappiojakaumaa parametrimallin avulla, tappiojakaumaahaetaan riskitekijän historiallisen (empiirisen) jakauman avulla
•Muodostetaan yhden muuttujan datajoukko: lisätään tappio-operaattori jokaiseenriskimuuttujien muutosvektorin historialliseen havaintoon
• :n arvot kertovat mitä nykyiselle portfoliolle tapahtuu mikäli päivän sriskitekijämuutokset toistuvat
•Ehdollistamaton menetelmä
•Jos oletetaan, että riskitekijöiden muutokset ovat stationäärisiä jakaumafunktiolla Fx,silloin datan empiirinen jakaumafunktio on Fx:n konsistentti estimaattori
–Tällöin tappioiden jakaumafunktio on tappio-operaattoreiden konsistentti estimaattori Fx:ssä
Historiallinen simulaatio (2/2)
•Käytännössä esimerkiksi VaR estimoidaan empiirisellä kvantiili-menetelmällä jossatappiojakauman teoreettisia kvantiileja estimoidaan datan kvantiiliotoksilla
•Merkitään datan järjestetyt alkiot
–Tällöin :n mahdollinen estimaattori on , missä [n(1-α)] merkitsee suurinta n(1-α)pienempää kokonaislukua
–Esimerkki: n=1000, α=0.99, VaR estimoidaan ottamalla 10:ksi suurin arvo
•Menetelmän hyvät ja huonot puolet
–Helppo ottaa käyttöön, redusoi riskimittarin estimoinnin yksiulotteiseksi ongelmaksi; ei tarvita X:nmonimuuttujajakauman estimointia eikä riskimuuttujien riippuvuuksista tarvita oletuksia
–Vaikeuksia voi olla löytää tarpeeksi historiallista dataa
–Ehdollistamaton menetelmä: ehdollinen menetelmä yleensä sopivampi päivittäisen markkinariskin hallintaan
Monte Carlo
•Simuloidaan eksplisiittinen parametrimalli riskitekijän muutoksille
1. askel: mallin valinta ja sen kalibrointi historialliseen dataan
2. askel: generoidaan m riippumatonta riskitekijän muutostoteumaa
•Historiallisen simulaatiomenetelmän tavoin tappio-operaattori liitetään simuloituihinvektoreihin, jotta saadaan simuloidut toteumat tappiojakaumasta
•Menetelmän hyvät ja huonot puolet
–Historiallisen simulaatiomenetelmään verrattuna voidaan simuloida enemmän mahdollisia toteutumia mkuin mikä oli alkuperäisen historiallisen datan lukumäärä n
–Ei ratkaise ongelmaa löytää monimuuttujainen jakauma :lle
–Kaikki saadut tulokset ovat korkeintaan yhtä hyviä kuin malli jota käytetään
–Markkinariskien yhteydessä jokin dynaaminen malli on yleensä toimivin (lisäksi GARCH ja esimerkiksi jokinpaksuhäntäinen monen muuttujan ehdollinen jakauma)
–Suurille portfoliolle Monte Carlosta aiheutuva laskentatkustannus voi olla liian raskas
Usean periodin tappiot ja skaalaus (1/2)
•Toistaiseksi käsitelty yhden periodin tappiojakaumia ja niiden riskimittareita
•Tarve on kuitenkin mallintaa myös pidemmän aikavälin muutoksia
•Skaalaus: yksinkertaiset säännöt yhden periodin riskimittareiden muuntamiselle h-periodisiksi (h>1)
•Merkitään tappio h periodin yli :lla
–Missä on tappio-operaattori h periodille ajanhetkellä t
•Kysymys kuuluu miten :lle käytetyt riskimittarit skaalautuvat h:n mukana
–Vastaus ei ole yksinkertainen paitsi erikoistapauksissa
–H-periodillinen tappio-operaattori eroaa yksiperiodillisesta silloin kun siirtymä riippuu eksplisiittisesti ajasta(esim. johdannaisportfoliot)
Usean periodin tappiot ja skaalaus (2/2)
•Esimerkki. Ajan neliöjuuri –skaalaus
–Jakauman kvantiilit sekä odotetut vajeet skaalautuvat alemmalle frekvenssille ajan neliöjuuren mukaan
•Skaalaussääntöä käytetään paljon, etenkin varianssi-kovarianssi-menetelmänyhteydessä
–Empiirinen data ei kuitenkaan tue riskitekijöiden muutosten normaaliutta tai oletusta riippumattomista jaidenttisesti jakautuneista muuttujista (iid)
–Vaikka rahoitusriskitekijöiden muutokset ovatkin usein (vähäisesti) korreloituneita, niin niiden volatiliteetti eiole vakio. Jälkimmäinen havainto on ristiriidassa iid-oletuksen kanssa
–Järkevämpien mallien aikaansaamiseksi kaivataan dynaamisia aikasarjamalleja esim. GARCH
•Myös Monte Carlo –menetelmää käytetään usein h-periodillisen tappiojakaumanriskimittareiden selvittämiseen
–(Dynaaminen malli) Simuloidaan riskimuuttujaprosessin tulevaisuuden polkuja
–Lisätään h-periodillinen tappio-operaattori dataan
–Monte Carlo –simuloituja tappioita käytetään tilastollisten päätelmien tekemiseen tappiojakaumasta jasiihen liittyvistä riskimittareista
Backtesting
•Edellä esitettyjä menetelmiä voi vertailla kehityksen tiedon valossa
–Ajanhetkellä t tehdään VaR- ja odotettu vaje –estimaatit (ES) yhdelle sekä h periodille
–Ajanhetkellä t+1 ja t+h voidaan selvittää mitä todellisuudessa tapahtui
•Todennäköisyys VaR:n rikkeelle (violation), seuraa määritelmästä
•Indikaattorit VaR-estimaattien rikkeestä
•Mikäli estimointimenetelmät ovat järkeviä, indikaattorit käyttäytyvät kuin satunnaisetBernoulli-muuttujat joilla erotus (rike)
Kotitehtävä
•Valitse kaksi riskitekijää A ja B joista sinulla on saatavilla n havainnon historiallinenaikasarja (esim. jonkin osakkeen tai hyödykkeen hinta) ja kalibroi näihin sopivatparametrimallit
•Oleta salkku, jossa 50% riskitekijää A ja 50% riskitekijää B
•Simuloi mallin avulla m toteumaa salkun arvosta (m > n)
•Laske salkun tappiojakauma ja valitsemasi riskimittarit
•Dokumentoi askeleet kaavioin ja R-komennoin