S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Fraktaalit
Ville Brummer
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Määritelmä
Ei yleismaailmallista määritelmää
Fraktaalilla on kuvio, jolla jokin tai kaikkiseuraavista ominaisuuksista (kirjan määritelmä):
Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity)
Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla
Voidaan määritellä fraktaalidimensio, joka ei olekokonaisluku
Käyttötarkoitus: Geometria kaoottisten funktioidenvisualisointiin (Vrt. Euklidinen geometria jaklassinen mekaniikka)
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Kaalifraktaali
Scr3
Scr2
Scr4
Scr5
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esitelmä
Sisältö
Fraktaalien muodostaminen
Cantorin joukot
Fraktaalien muodostus
Systeemien kuvaus fraktaaleilla
Fraktaalit deterministisissä systeemeissä
Altaiden rajat
Fraktaalin dimensio
Määritelmä
Laatikkodimensio
Korrelaatiodimensio
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Cantorin joukot (Cantor sets)
= K= Keskikolmasosa Cantorin joukko (middle-third Cantor set)
Ensimmäinen ja yksinkertaisin fraktaali
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Fraktaalien muodostaminen
Iteroitu funktiosysteemi (iterated function system)
Kokoelma funktioita                       , joita vastaa todennäköisyydet
Radan muodostus
Valitse
Arvo todennäköisyysjakaumasta p funktio
Laske
Arvo todennäköisyysjakaumasta p funktio
Laske
Jne.
Fraktaali muodostuu pisteistä
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Cantorin joukko
 
 
 
Iteraatiot kulkevat joukolla K
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Luisevan leipurin kuvaus(skinny baker map)
 
Iteraatiot kulkevat joukolla
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Fraktaalit deterministisissäsysteemeissä
Fraktaali on tapa kuvata funktiota
Värin tummuus voi kuvata esim. sitä, kuinkanopeasti iterointi karkaa äärettömyyteen(esim. musta; heti, valkoinen; ei koskaan)
Esim. puoleensavetävät radat ja altaat ovatmonesti fraktaaleja
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Keskeisiä määritelmiä
Puoleensavetävä jaksollinen rata:
Olkoon f  kuvaus      :ssä ja jaksollinen rata
p on f:n puoleensavetävä jaksollinen rata, jos sen lähistölläolevat pisteet lähestyvät sitä
Allas:
Olkoon f  kuvaus      :ssä ja p nielu tai puoleensa vetäväjaksollinen rata
X on p:n allas, jos se iteraatiokierrosten edetessä kulkee p:hen
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Hénonin puoleensavetävätradat (Hénon attractors)
 
Etsitään joukko, jostaiteraatio ei karkaaäärettömyyteen
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Hénonin allas (Hénonbasin)
 
Etsitään joukko, jostaiteraatiot karkaavatäärettömyyteen
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Julian joukot
 
c = -0.17 + 0.78i
Valkoinen alue onkolmiperiodisenpuoleensavetävänradan allas
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Julian joukot
 
c = -0.32 + 0.043i
Valkoinen alue on 11-periodisenpuoleensavetävänradan allas
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki 1: Mandelbrotin joukko
 
M = {c: Rata origostapysyy rajoitettuna}(valkoinen alue)
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Fraktaalin dimensio
Monia eri tapoja määrittää
Tässä käydään läpi
Laatikkodimensio
Korrelaatiodimensio
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Laatikkodimensio (box-countingdimension)
Valitaan joukko            ja
Lasketaan kuinka monta   - mittaista laatikkoa tarvitaanpeittämään joukko S
Laatikkojen määrä:
Joukon S dimensio on d
Esim.
 Välin [0,1] peitoksi tarvitaan       laatikkoa, joten sen dimensiod=1
Joukon [0,2] x [0,2] peitoksi tarvitaan              laatikkoa, jotensen dimensio d=2
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Laatikkodimension laskeminen
 
Laatikkodimensio:
Aina ei voida laskea dimensiota analyyttisesti
numeeriset ratkaisut
approksimointi
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Esimerkki: Keskikolmasosa Cantorinjoukon K dimension laskeminen
     koostuu      intervallista, joiden leveys on
Yhden intervallin täyttöön tarvitaan               kpl
   -mittaista laatikkoa
Koko joukon täyttöön siis tarvitaan täyttöön tarvitaan
                                                      laatikkoa
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Korrelaatiodimensio
Olkoon                       kuvauksen f rata ja
                                   kuvauksen f rata N:llä iteraatiolla
Lasketaan C(r)
C(r) on siis suhde kahdesta kokonaisluvusta:
i)#(Lukuparit, joiden etäisyys on pienempi kuin r)
ii)#(Kaikki lukuparit)
                    Saadaan korrelaatiodimensio d
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Korrelaatiodimension laskeminen
Määritellään:
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Mitä opimme
Fraktaalin määritelmä
Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity)
Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla
Voidaan määritellä fraktaalidimensio, joka ei ole kokonaisluku
Fraktaalien muodostaminen
Cantorin joukko
Fraktaalien muodostus iteroidulla funktiosysteemillä
Fraktaalien yhteys kaoottisiin systeemeihin
Esimerkiksi puoleensavetävät radat ja altaat ovat monesti fraktaaleja
Fraktaalin dimensio
Laatikkodimensio
Korrelaatiodimensio
S ysteemianalyysin
Laboratorio
Teknillinen korkeakoulu
Fraktaalit – Ville Brummer
Optimointiopin seminaari - Kevät 2007
Kotitehtävä(Computer experiment 4.1)
Olkoon iteroitu funktiosysteemi
Piirrä systeemin muodostama fraktaali